$\mathop {Limit}\limits_{x \to \infty } \,\frac{{{{\left( {{2^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}\,\, - \,\,{{\left( {{3^{{x^n}}}} \right)}^{\frac{1}{{{e^x}}}}}}}{{{x^n}}}\,$ (જ્યાં $n \in N$) ની કિંમત શોધો.

$\lim_{x \to 0} (\frac{8}{x^8}) [1 - \cos \frac{x^2}{2} - \cos \frac{x^2}{4} + \cos \frac{x^2}{2} \cdot \cos \frac{x^2}{4}]$ ની કિંમત કોના બરાબર છે?

ધારો કે $[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે. તો $p \in N$ ની ન્યૂનતમ કિંમત જેના માટે $\lim _{x}$ ${\rightarrow 0^{+}}\left(x\left(\left[\frac{1}{x}\right]+\left[\frac{2}{x}\right]+\ldots+\left[\frac{p}{x}\right]\right)-x^2\left(\left[\frac{1}{x^2}\right]+\left[\frac{2^2}{x^2}\right]+\ldots+\left[\frac{9^2}{x^2}\right]\right)\right) \geq 1$ થાય,તે . . . . . . છે.

ધારો કે $f(x)=5-|x-2|$ અને $g(x)=|x+1|$,$x \in R$. જો $f(x)$ એ $\alpha$ આગળ મહત્તમ કિંમત મેળવે છે અને $g(x)$ એ $\beta$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મેળવે છે,તો $\lim _{x \rightarrow-\alpha \beta} \frac{(x-1)(x^2-5x+6)}{(x^2-6x+8)}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2x - \cos 4x}{1 - \cos 2x} = k$,હોય તો $\lim _{x \rightarrow k} \frac{x^k - 27}{x^{k+1} - 81} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right)^{x + 3}}$ ની કિંમત શોધો.